NOI 2005 瑰丽华尔兹

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这是一个需要用单调队列优化的动态规划问题。根据数据规模的提示，要想过100%就不能把时间作为一个状态量表示，而以时间区间。

于是我们写出状态 F[p][i][j]表示第i个时间区间末的时刻，钢琴在(i,j)位置的最长滑行路程。状态转移方程就是

F[p][i][j] = Max { F[p-1][i'][j'] + dist((i,j),(i',j')) } 为在第p个时间区间内能从(i',j')到(i,j)的位置

这个状态转移方程的时间复杂度是O(NMT)的，只能过50％的数据，所以要优化状态转移。由于只能直线滑动，所以每次状态转移都是线性的，取一个最大值。我们可以想办法加快取最大值的速度，单调队列！

定义当前时间为该状态是第几个被计算的，假设第p个时间区间方向为1（从下向上滑），要从下向上递推，最下面的状态时间就是0，往上一格时间增加1。对于状态F[p][i][j]，如果(i,j)处没有障碍，把(F[p-1][i][j] － 当前时间)加入单调队列，然后在单调队列中取出合法最大值，再加上当前时间的值赋给F[p][i][j]。如果(i,j)处是障碍，则F[p][i][j]赋为一个无效值，然后清空单调队列。

这样经过优化的决策时间就是均摊O(1)的，所以时间复杂度为O(NMK)。

/* 
 * Problem: NOI2005 adv1900
 * Author: Guo Jiabao
 * Time: 2009.6.1 11:03
 * State: Solved
 * Memo: 动态规划
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=202,MAXK=201,INF=0x7FFFFFF;
struct MonoList
{
    int A[MAXN],T[MAXN];
    int head,tail;
    void clear()
    {
        head=0;tail=-1;
    }
    void ins(int t,int v)
    {
        tail++;
        T[tail]=t; A[tail]=v;
        while (tail-1 >= head && A[tail] > A[tail-1])
        {
            A[tail-1]=A[tail];
            T[tail-1]=T[tail];
            tail--;
        }
    }
    int get(int thistime,int timelimit)
    {
        while (head+1 <=tail && (thistime - T[head] > timelimit) )
            head++;
        return A[head];
    }
}Mono;
struct timeseg
{
    int s,t,d;
}T[MAXK];
bool forbid[MAXN][MAXN];
int N,M,K,Ans;
int F[2][MAXN][MAXN];

void init()
{
    int i,j,x,y,c;
    freopen("adv1900.in","r",stdin);
    freopen("adv1900.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&N,&M,&x,&y,&K);
    for (i=1;i<=N;i++)
    {
        do c=getchar(); while (c==10||c==13); ungetc(c,stdin);
        for (j=1;j<=M;j++)
        {
            c=getchar();
            forbid[i][j]=c=='x';
            F[0][i][j]=-INF;
        }
    }
    F[0][x][y]=Ans=0;
    for (i=1;i<=K;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&T[i].s,&T[i].t,&T[i].d);
        T[i].t-=T[i].s-1;
    }
}
void update(int thistime,int p,int i,int j,int y)
{
    int q=!p;
    if (forbid[i][j])
    {
        F[p][i][j]=-INF;
        Mono.clear();
        return;
    }
    Mono.ins(thistime,F[q][i][j] - thistime);
    F[p][i][j] = Mono.get(thistime,T[y].t) + thistime;
    if (F[p][i][j] > Ans)
        Ans = F[p][i][j];
}
void dynamic()
{
    int y,p,i,j,thistime;
    for (y=p=1;y<=K;y++,p=!p)
    {
        if (T[y].d==1)
        {
            for (j=1;j<=M;j++)
            {
                Mono.clear();
                for (i=N;i>=1;i--)
                    update(N-i,p,i,j,y);
            }
        }
        else if(T[y].d==2)
        {
            for (j=1;j<=M;j++)
            {
                Mono.clear();
                for (i=1;i<=N;i++)
                    update(i-1,p,i,j,y);
            }
        }
        else if (T[y].d==3)
        {
            for (i=1;i<=N;i++)
            {
                Mono.clear();
                for (j=M;j>=1;j--)
                    update(M-j,p,i,j,y);
            }
        }
        else
        {
            for (i=1;i<=N;i++)
            {
                Mono.clear();
                for (j=1;j<=M;j++)
                    update(j-1,p,i,j,y);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    dynamic();
    printf("%d\n",Ans);
    return 0;
}

<h2><span class="mw-headline">瑰丽华尔兹 </span></h2>

【任务描述】

你跳过华尔兹吗？当音乐响起，当你随着旋律滑动舞步，是不是有一种漫步仙境的惬意？众所周知，跳华尔兹时，最重要的是有好的音乐。但是很少有几个人知道，世界上最伟大的钢琴家一生都漂泊在大海上，他的名字叫丹尼?布德曼?T.D.?柠檬?1900，朋友们都叫他1900。

1900出生于20世纪的第一年出生在往返于欧美的邮轮弗吉尼亚号上，然后就被抛弃了。1900刚出生就成了孤儿，孤独的成长在弗吉尼亚号上，从未离开过这个摇晃的世界；也许是对他命运的补偿，上帝派可爱的小天使艾米丽照顾他。

可能是天使的点化，1900拥有不可思议的钢琴天赋，从未有人教，从没看过乐谱，但他却能凭着自己的感觉弹出最沁人心脾的旋律。当1900的音乐获得邮轮上所有人的欢迎时，他才8岁，而此时他已经乘着海轮往返欧美50多次了。

虽说是钢琴奇才，但1900还是个8岁的孩子，他有着和一般男孩一样的好奇的调皮，不过可能更有一层浪漫的色彩罢了：

这是一个风雨交加的夜晚，海风卷起层层巨浪拍打着弗吉尼亚号，邮轮随着巨浪剧烈的摇摆。船上的新萨克斯手迈克斯?托尼晕船了，1900将他 邀请到舞厅，然后——，然后松开了固定钢琴的闸，于是，钢琴随着海轮的倾斜滑动起来。准确的说，我们的主角1900、钢琴、邮轮随着1900的旋律一起跳 起了华尔兹，所有的事物好像都化为一体，随着“强弱弱”的节奏，托尼的晕船症也奇迹般地一点一点恢复。正如托尼在回忆录上这样写道：
<pre>大海摇晃着我们
使我们转来转去
快速的掠过灯和家具
我意识到我们正在和大海一起跳舞
真是完美而疯狂的舞者</pre>
晚上在金色的地板上快乐的跳着华尔兹是不是很惬意呢？也许，我们忘记了一个人，那就是艾米丽，她可没闲着：她必须在适当的时候施魔法帮助1900，不让钢琴碰上舞厅里的家具。而艾米丽还小，她无法施展魔法改变钢琴的运动方向或速度，而只能让钢琴停一下。

不妨认为舞厅是一个N行M列的矩阵，矩阵中的某些方格上堆放了一些家具，其他的则是空地。钢琴可以在空地上滑动，但不能撞上家具或滑出舞厅，否则会损坏钢琴和家具，引来难缠的船长。

每个时刻，钢琴都会随着船体倾斜的方向向相邻的方格滑动一格，其中相邻的方格可以是向东、向西、向南或向北的。而艾米丽可以选择施魔法或不施魔法，如果不施魔法，则钢琴会滑动，而如果施魔法，则钢琴会原地不动。 艾米丽是个天使，她知道每段时间的船体的倾斜情况。她想使钢琴尽量长时间在舞厅里滑行，这样1900会非常高兴，同时也有利于治疗托尼的晕船。但艾米丽还太小，不会算，所以希望你能帮助她。

【输入格式】

输入文件的第一行包含5个数N, M, x, y和K。N和M描述舞厅的大小，x和y为在第1时刻初钢琴的位置（x行y列）；我们对船体倾斜情况是按时间的区间来描述的，比如“在[1, 3]时间里向东倾斜，[4, 5]时间里向北倾斜”，因此这里的K表示区间的数目。

以下N行，每行M个字符，描述舞厅里的家具。第i行第j列的字符若为‘ . '，则表示该位置是空地；若为‘ x '，则表示有家具。

以下K行，顺序描述K个时间区间，格式为：si ti di(1 ≤ i ≤ K)。表示在时间区间[si, ti]内，船体都是向di方向倾斜的。di为1, 2, 3, 4中的一个，依次表示北、南、西、东（分别对应矩阵中的上、下、左、右）。输入保证区间是连续的，即
  • s1 = 1
  • ti = si-1 + 1 (1 < i ≤ K)

  • tK = T

    【输出格式】

    输出文件仅有1行，包含一个整数，表示钢琴滑行的最长距离(即格子数)。

    【输入样例】 

    4 5 4 1 3
  ..xx.
  .....
  ...x.
  .....
  1 3 4
  4 5 1
  6 7 2
    【输出样例】 
    6
    【样例说明】

    钢琴的滑行路线：

    Image:Adv1900.png

    钢琴在“×位置上时天使使用一次魔法，因此滑动总长度为6。

    【评分方法】

    本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。

    【数据范围】

  • 50%的数据中，1≤N, M≤200，T≤200；

  • 100%的数据中，1≤N, M≤200，K≤200，T≤40000。

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