有向圖強連通分量的Tarjan算法

[有向圖強連通分量]

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱爲強連通分量(strongly connected components)。

下圖中，子圖{1,2,3,4}爲一個強連通分量，因爲頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

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直接根據定義，用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間複雜度爲O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，兩者的時間複雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基於對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量爲搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否爲一個強連通分量。

定義DFN(u)爲節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)爲u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，

Low(u)=Min
{
    DFN(u),
    Low(v),(u,v)爲樹枝邊，u爲v的父節點
    DFN(v),(u,v)爲指向棧中節點的後向邊(非橫叉邊)
}

當DFN(u)=Low(u)時，以u爲根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

算法僞代碼如下

tarjan(u)
{
    DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 爲節點u設定次序編號和Low初值
    Stack.push(u)                              // 將節點u壓入棧中
    for each (u, v) in E                       // 枚舉每一條邊
        if (v is not visted)               // 如果節點v未被訪問過
            tarjan(v)                  // 繼續向下找
            Low[u] = min(Low[u], Low[v])
        else if (v in S)                   // 如果節點v還在棧內
            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
    if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果節點u是強連通分量的根
        repeat
            v = S.pop                  // 將v退棧，爲該強連通分量中一個頂點
            print v
        until (u== v)
}

接下來是對算法流程的演示。

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v爲止，{6}爲一個強連通分量。

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返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}爲一個強連通分量。

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返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有後向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)爲樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

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繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

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至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間複雜度爲O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的算法，爲Kosaraju算法。Kosaraju是基於對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間複雜度也是O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實際的測試中，Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan算法也有着很深的聯繫。學習該Tarjan算法，也有助於深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。

求有向圖的強連通分量的Tarjan算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明瞭求雙連通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan算法，在此對Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

void tarjan(int i)
{
    int j;
    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
    instack[i]=true;
    Stap[++Stop]=i;
    for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
    {
        j=e->t;
        if (!DFN[j])
        {
            tarjan(j);
            if (LOW[j]<LOW[i])
                LOW[i]=LOW[j];
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
            LOW[i]=DFN[j];
    }
    if (DFN[i]==LOW[i])
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=Stap[Stop--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=i);
    }
}
void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    for (i=1;i<=N;i++)
        if (!DFN[i])
            tarjan(i);
}

[參考資料]

BYVoid 原創作品，轉載請註明。

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